FLIPEC: A free-boundary equilibrium solver in the context of Ideal MHD for toroidally axisymmetric plasmas in the presence of flows
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Publication date
2024-02
Defense date
2024-03-01
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Abstract
Since the 1950s, science has been striving to extract energy in a controlled and usable manner from the same source that powers the Sun: the nuclear fusion of light nuclei. The immense gravity produced by the Sun’s mass creates pressure in its outer layers, heating and confining its predominantly hydrogen core for an extended period. Subjected to these high temperatures, hydrogen nuclei, composed of a single proton and its only electron, dissociate into the state of matter known as plasma. In this state, and under certain conditions, positively charged nuclei can collide, forming a different nucleus. Despite the relatively simple premise, the idea promised quasi-unlimited energy at a low cost for humanity. Unfortunately, the conditions within the Sun are impossible to replicate on Earth, as we lack the Sun’s gravitational energy to confine and heat the plasma; such a mechanism can only be achieved within stars. On our planet, we need to resort to smaller-scale methods to achieve nuclear fusion. One proposed method, known as "magnetic confinement fusion," involves using powerful magnetic fields to enclose plasma, which is a fluid composed of charged particles that react to these fields. This strategy faces several challenges that hinder the development of a commercial reactor capable of producing energy consistently and efficiently for the grid. The need to confine a plasma for an extended period, around ten times hotter than the solar interior is one of the most defiant. However, maintaining such a plasma at these temperatures for long enough to build a fusion plant is still a distant goal. Currently, the leading experimental reactors in fusion research are the stellarator and the tokamak. Both designs are based on toroidal geometries to confine plasma, but their magnetic field configurations impart different properties to their operation. While the stellarator possesses essentially three-dimensional configurations, tokamaks’ magnetic fields exhibit toroidal symmetry, simplifying some aspects while introducing other disadvantages. Notably, tokamaks require induced current in the plasma to maintain equilibrium. This work is specifically focused on tokamak equilibrium within the context of toroidally axisymmetric geometry. Balancing forces within the plasma is crucial for confining particles within the reactors. Due to the complexity of the equations describing plasma behavior in detail, finding equilibrium solutions for a reactor can become an overwhelming challenge, both analytically and computationally. One solution involves simplifications leading to a field known as Magneto-hydrodynamics (MHD), specifically Ideal MHD in this study, assuming zero resistivity in the plasma. Despite achieving a considerable simplification of the starting equations, finding equilibrium solutions in Ideal MHD remains a considerable challenge, especially for certain magnetic field configurations. Numerous 3D equilibrium codes, such as VMEC or SIESTA, are widely used by the scientific community to find solutions not only for tokamaks but also for the intricate geometries of stellarator magnetic fields. Fortunately, this work deals with a toroidal symmetry context, allowing for further simplification of mathematics and computation times. This reduction leads to an elegant second-order differential equation: the Grad-Shafranov equation. Its solution depends on a single variable, typically represented by the symbol ψ, providing a measure of the poloidal magnetic flux required to maintain a plasma in equilibrium with a certain pressure distribution ppψq under a toroidal field indirectly given by a profile Fpψq. This relative simplicity opens the door to new possibilities, including obtaining analytical solutions for certain cases and significantly reducing computational costs for numerical solutions. Both three-dimensional codes and those solving the Grad-Shafranov equation share a common characteristic: they deliberately disregard the presence of macroscopic flows. That is, the term describing velocity in MHD equations is considered negligible. However, toroidal and poloidal flows are present in most operating tokamaks. Addressing the Grad-Shafranov equation by including the velocity term is not particularly challenging; however, its final expression does
entail a significant increase in the complexity of the equation. Flow profiles increase from two to five, becoming less intuitive, and the differential operator risks changing its nature if poloidal flows are significant. Moreover, there are no longer analytical solutions except for simple toroidal flow cases. Consequently, only a few codes can compute equilibria in the presence of general flows, including FLOW, CLIO, or FINNESSE. Thus, this work undertakes the task of developing a code from scratch that offers different characteristics than existing ones, contributing a unique tool for the fusion community to analyze flow effects differently than previously done. The effort was carried out in two phases. Firstly, an iterative code capable of running under free boundary conditions was built and validated. Subsequently, the focus shifted to providing the code with the necessary tools and capabilities to make it a useful resource for the community. Both phases are covered in two articles, one already published, and the other in the process of publication as of the writing of this document. Among FLIPEC’s main properties are:
• An Eulerian mesh implemented initially in toroidal coordinates, where the computational domain adhered to a circle. The smaller radius was treated numerically with secondorder finite differences, while a pseudo-spectral method was used for poloidal dependencies.
• An computational boundary update scheme was adapted for the code to enable the calculation of free-boundary equilibriums. This strategy had already been successfully implemented in SIESTA, a 3D static equilibrium code [1, 2].
• To enable the code to adapt to any toroidally symmetric fusion device, generalized coordinates were implemented. This is essential because point currents running through coils create a singularity in the generated magnetic field values, and a circle only suited a very limited number of tokamaks.
• Calculations under free boundaries trigger a vertical instability causing plasma to move vertically. An effective scheme was introduced to correct this displacement in each iteration.
• In tests, it was observed that, in cases with strong toroidal rotation near the magnetic axis, the total plasma current tended to decrease over iterations. Since the current remains fixed during reactor operation, an algorithm was added to obtain equilibriums by fixing the plasma current. This strategy may perhaps be replicated in the future for other parameters. All these features were tested with two reference configurations associated with two experimental reactors with notably different characteristics: ITER, an ambitious large tokamak under construction, and NSTX, a smaller spherical tokamak with a low aspect ratio.
Desde los años 50 la ciencia lleva tratando de conseguir la manera de extraer energía de una manera controlada y aprovechable de la misma fuente de la que el Sol se alimenta: la fusión nuclear de núcleos ligeros. La enorme gravedad producida por la masa del Sol consigue que la presión ejercida por las capas más exteriores caliente y confine por largo tiempo su nucleo, compuesto principalmente de Hidrógeno. Sometidos a estas altas temperaturas, los núcleos del Hidrógeno, formados por un solo protón, y su único electrón se desligan, formando el estado de la materia que se conoce como plasma. En este estado, y bajo ciertas condiciones, los núcleos positivamente cargados pueden chocar entre sí, formando otro núcleo diferente. Partiendo de una base tan relativamente sencilla, la idea prometía energía cuasi-ilimitada y a un coste bajo para toda la humanidad. Desafortunadamente, las condiciones que se dan dentro del Sol son imposibles de reproducir en la Tierra, ya que no disponemos de la energía gravitatoria del Sol para confinar y calentar el plasma; ese tipo de mecanismo sólo se puede conseguir dentro de las estrellas. En nuestro planeta necesitamos recurrir a otros métodos de menor escala para conseguir la fusión de los núcleos. Una de las propuestas, conocida como “fusión por confinamiento magnético” consiste en el uso de potentes campos magnéticos para encerrar el plasma, que está constituido por partículas cargadas que reaccionan a estos campos. Esta estrategia conlleva varios desafíos que dificultan la consecución de un reactor comercial que sea capaz de producir energía de manera constante y eficiente para la red. Entre ellos está el hecho de que se debe confinar durante largo tiempo un plasma alrededor de diez veces más caliente que el que se encuentra en el interior solar. Sin embargo, mantener este tipo de plasma a estas temperaturas durante periodos suficientemente prolongados como para construir una planta de fusión es algo que todavía está lejos de conseguirse. A día de hoy, los tipos de reactores experimentales que lideran está rama de la fusión son dos: el stellarator y el tokamak. Ambos diseños están basados en geometrías toroidales para confinar el plasma, pero la configuración de sus campos magnéticos les otorga diferentes propiedades en su funcionamiento. Mientras que el stellarator posee configuraciones esencialmente tridimensionales, los campos magnéticos de los tokamaks hacen gala de una simetría toroidal que simplifica algunos aspectos, a la vez que genera otras desventajas. Entre otras, la que quizá sea más distintiva es que el tokamak necesita de una corriente inducida en el plasma para mantener el equilibrio. Precisamente, el trabajo que aquí se expone se encuentra localizado dentro del contexto de los equilibrios para tokamaks, es decir, la geometría a considerar será toroidalmente axisimétrica. Encontrar un balance de fuerzas dentro del plasma es esencial para confinar las partículas dentro de los distintos reactores. Debido a la complejidad que encierran las ecuaciones que describen el comportamiento del plasma en detalle, encontrar soluciones de equilibrio de un reactor puede convertirse en un desafío inabarcable no solo analíticamente, si no también computacionalmente. Una potente herramienta surge de una serie de simplificaciones físicas que desembocan en un campo conocido como Magneto-Hidro-Dinámica, generalmente indicado como MHD. Este modelo consigue una buena descripción global del plasma, convirtiéndose en una eficiente herramienta para describir una buena parte de la fenomenología de escala macroscópica dentro de un dispositivo de fusión. En particular, a lo largo de este estudio, se considera que el plasma tiene una nula resistividad, lo que da lugar a una variante conocida como MHD ideal. A pesar de haber conseguido una más que notable simplificación de las ecuaciones de partida, buscar las soluciones de equilibrio en MHD es todavía un desafío considerable, ante todo para ciertas configuraciones del campo magnético. Actualmente existen numerosos códigos 3D de equilibrio como VMEC o SIESTA entre otros muchos. Son códigos ampliamente utilizados por la comunidad científica que permiten encontrar soluciones no solo para tokamaks sino también para las intrincadas geometrías de los campos magnéticos de los stellarators. Afortunadamente, nuestro problema se encuentra en un contexto de simetría toroidal, permitiéndonos el simplificar aún más las matemáticas y, con ello, los tiempos de computación. Está reducción nos otorga una elegante ecuación diferencial de segundo grado: La ecuación de Grad-Shafranov. Su solución depende de una sola variable, normalmente representada en la letra ψ, que nos da una medida del flujo magnético poloidal necesario para mantener en equilibrio un plasma con una determinada distribución de presión ppψq bajo un campo toroidal que vendrá dado indirectamente por un perfil Fpψq. Dada su relativa sencillez, está expresión abre la puerta a nuevas posibilidades. Por citar dos relevantes: primero, es posible obtener soluciones analíticas para ciertos casos concretos; segundo, reduce de manera muy significativa el coste computacional si queremos resolverla de manera numérica. Todo ello hace posible encontrar multitud de códigos que resuelven la ecuación de manera eficiente y rápida. Tanto los códigos tridimensionales como aquellos que resuelven la ecuación de Grad-Shafranov comparten una misma característica: todos ellos ignoran deliberadamente la presencia de flujos macroscópicos. Esto es, el término que describe la velocidad en las ecuaciones del MHD se considera despreciable. Sin embargo, los flujos, tanto toroidales como poloidales, están presentes en la mayoría de los tokamaks cuando se encuentran en operación. En algunos tokamaks los flujos pueden ser ignorados, pero en otros las mediciones indican que pueden ser considerablemente altos, del orden de 0.7 en el número de Mach. Afrontar la ecuación de Grad-Shafranov incluyendo el término de la velocidad no es particularmente desafiante, pero su expresión final sí conlleva un incremento considerable en la complejidad de la ecuación. Los perfiles de flujo pasan de dos a cinco y se tornan menos intuitivos, y el operador diferencial tiene el peligro de experimentar un cambio en su naturaleza si los flujos poloidales son muy significativos. Además, deja de haber soluciones analíticas salvo para casos sencillos de flujo toroidal. Como consecuencia, se pueden encontrar solo unos pocos códigos capaces de computar equilibrios en presencia de flujos generales, entre los que se encuentran FLOW, CLIO o FINNESSE. De esta manera, este trabajo afronta la tarea de escribir un código de cero el cual ofrezca unas características diferentes a las ya ofrecidas por los códigos anteriormente citados y que aporte a la comunidad de fusión una herramienta única y útil para analizar el efecto de los flujos. El trabajo se realizó en dos fases. Primeramente, se construyó y validó un código iterativo capaz de ejecutarse en condiciones de frontera libre. Tras ello, el esfuerzo vino en proporcionar al código las herramientas y capacidades necesarias para convertirlo en un recurso útil para la comunidad. Todo este trabajo se encuentra contenido en dos artículos que se corresponden con ambas fases, uno ya publicado y otro en proceso de publicación en el momento de la escritura de este documento. Entre las propiedades principales de FLIPEC se encuentran las siguientes: • Una malla euleriana implementada inicialmente en coordenadas toroidales, donde el dominio computacional se ceñía a un círculo. El radio menor se trata numéricamente con diferencias finitas de segundo orden mientras un método pseudo-espectral se emplea sobre las dependencias poloidales. • Se adaptó para el código un esquema de actualización de la frontera computacional de manera que fuese capaz de calcular equilibrios de frontera libre. Está estrategia ya había sido implementada para el código SIESTA de manera satisfactoria [1, 2]. • Con el fin de conferir al código la posibilidad de adaptarse a cualquier dispositivo de fusión con simetría toroidal, se implementaron coordenadas generalizadas. Esto es esencial, ya que las corrientes puntuales que corren por las bobinas generan una singularidad en los valores del campo magnético generado, y un círculo solo se adaptaba bien a un número muy limitado de tokamaks. • Los cálculos en frontera libre disparan una inestabilidad vertical que hace al plasma desplazarse verticalmente. Hubo que introducir un efectivo esquema que corrigiese ese desplazamiento en cada iteración. • Se observó en las pruebas que, en los casos con una fuerte rotación toroidal cerca del eje magnético, la corriente total del plasma tendía a descender a lo largo de las iteraciones. Dado que, durante la operación en los reactores la corriente se mantiene fija, se añadió un algoritmo que consigue obtener equilibrios fijando la corriente del plasma. Esta estrategia puede, quizá ser replicada en un futuro para otros parámetros. Todas estas características fueron probadas con dos configuraciones de referencia asociadas a dos reactores experimentales con características notablemente diferentes: ITER, un ambicioso tokamak de gran tamaño en construcción, y NSTX, un tokamak esférico de menor tamaño y baja relación entre su radio menor y el radio mayor.
Desde los años 50 la ciencia lleva tratando de conseguir la manera de extraer energía de una manera controlada y aprovechable de la misma fuente de la que el Sol se alimenta: la fusión nuclear de núcleos ligeros. La enorme gravedad producida por la masa del Sol consigue que la presión ejercida por las capas más exteriores caliente y confine por largo tiempo su nucleo, compuesto principalmente de Hidrógeno. Sometidos a estas altas temperaturas, los núcleos del Hidrógeno, formados por un solo protón, y su único electrón se desligan, formando el estado de la materia que se conoce como plasma. En este estado, y bajo ciertas condiciones, los núcleos positivamente cargados pueden chocar entre sí, formando otro núcleo diferente. Partiendo de una base tan relativamente sencilla, la idea prometía energía cuasi-ilimitada y a un coste bajo para toda la humanidad. Desafortunadamente, las condiciones que se dan dentro del Sol son imposibles de reproducir en la Tierra, ya que no disponemos de la energía gravitatoria del Sol para confinar y calentar el plasma; ese tipo de mecanismo sólo se puede conseguir dentro de las estrellas. En nuestro planeta necesitamos recurrir a otros métodos de menor escala para conseguir la fusión de los núcleos. Una de las propuestas, conocida como “fusión por confinamiento magnético” consiste en el uso de potentes campos magnéticos para encerrar el plasma, que está constituido por partículas cargadas que reaccionan a estos campos. Esta estrategia conlleva varios desafíos que dificultan la consecución de un reactor comercial que sea capaz de producir energía de manera constante y eficiente para la red. Entre ellos está el hecho de que se debe confinar durante largo tiempo un plasma alrededor de diez veces más caliente que el que se encuentra en el interior solar. Sin embargo, mantener este tipo de plasma a estas temperaturas durante periodos suficientemente prolongados como para construir una planta de fusión es algo que todavía está lejos de conseguirse. A día de hoy, los tipos de reactores experimentales que lideran está rama de la fusión son dos: el stellarator y el tokamak. Ambos diseños están basados en geometrías toroidales para confinar el plasma, pero la configuración de sus campos magnéticos les otorga diferentes propiedades en su funcionamiento. Mientras que el stellarator posee configuraciones esencialmente tridimensionales, los campos magnéticos de los tokamaks hacen gala de una simetría toroidal que simplifica algunos aspectos, a la vez que genera otras desventajas. Entre otras, la que quizá sea más distintiva es que el tokamak necesita de una corriente inducida en el plasma para mantener el equilibrio. Precisamente, el trabajo que aquí se expone se encuentra localizado dentro del contexto de los equilibrios para tokamaks, es decir, la geometría a considerar será toroidalmente axisimétrica. Encontrar un balance de fuerzas dentro del plasma es esencial para confinar las partículas dentro de los distintos reactores. Debido a la complejidad que encierran las ecuaciones que describen el comportamiento del plasma en detalle, encontrar soluciones de equilibrio de un reactor puede convertirse en un desafío inabarcable no solo analíticamente, si no también computacionalmente. Una potente herramienta surge de una serie de simplificaciones físicas que desembocan en un campo conocido como Magneto-Hidro-Dinámica, generalmente indicado como MHD. Este modelo consigue una buena descripción global del plasma, convirtiéndose en una eficiente herramienta para describir una buena parte de la fenomenología de escala macroscópica dentro de un dispositivo de fusión. En particular, a lo largo de este estudio, se considera que el plasma tiene una nula resistividad, lo que da lugar a una variante conocida como MHD ideal. A pesar de haber conseguido una más que notable simplificación de las ecuaciones de partida, buscar las soluciones de equilibrio en MHD es todavía un desafío considerable, ante todo para ciertas configuraciones del campo magnético. Actualmente existen numerosos códigos 3D de equilibrio como VMEC o SIESTA entre otros muchos. Son códigos ampliamente utilizados por la comunidad científica que permiten encontrar soluciones no solo para tokamaks sino también para las intrincadas geometrías de los campos magnéticos de los stellarators. Afortunadamente, nuestro problema se encuentra en un contexto de simetría toroidal, permitiéndonos el simplificar aún más las matemáticas y, con ello, los tiempos de computación. Está reducción nos otorga una elegante ecuación diferencial de segundo grado: La ecuación de Grad-Shafranov. Su solución depende de una sola variable, normalmente representada en la letra ψ, que nos da una medida del flujo magnético poloidal necesario para mantener en equilibrio un plasma con una determinada distribución de presión ppψq bajo un campo toroidal que vendrá dado indirectamente por un perfil Fpψq. Dada su relativa sencillez, está expresión abre la puerta a nuevas posibilidades. Por citar dos relevantes: primero, es posible obtener soluciones analíticas para ciertos casos concretos; segundo, reduce de manera muy significativa el coste computacional si queremos resolverla de manera numérica. Todo ello hace posible encontrar multitud de códigos que resuelven la ecuación de manera eficiente y rápida. Tanto los códigos tridimensionales como aquellos que resuelven la ecuación de Grad-Shafranov comparten una misma característica: todos ellos ignoran deliberadamente la presencia de flujos macroscópicos. Esto es, el término que describe la velocidad en las ecuaciones del MHD se considera despreciable. Sin embargo, los flujos, tanto toroidales como poloidales, están presentes en la mayoría de los tokamaks cuando se encuentran en operación. En algunos tokamaks los flujos pueden ser ignorados, pero en otros las mediciones indican que pueden ser considerablemente altos, del orden de 0.7 en el número de Mach. Afrontar la ecuación de Grad-Shafranov incluyendo el término de la velocidad no es particularmente desafiante, pero su expresión final sí conlleva un incremento considerable en la complejidad de la ecuación. Los perfiles de flujo pasan de dos a cinco y se tornan menos intuitivos, y el operador diferencial tiene el peligro de experimentar un cambio en su naturaleza si los flujos poloidales son muy significativos. Además, deja de haber soluciones analíticas salvo para casos sencillos de flujo toroidal. Como consecuencia, se pueden encontrar solo unos pocos códigos capaces de computar equilibrios en presencia de flujos generales, entre los que se encuentran FLOW, CLIO o FINNESSE. De esta manera, este trabajo afronta la tarea de escribir un código de cero el cual ofrezca unas características diferentes a las ya ofrecidas por los códigos anteriormente citados y que aporte a la comunidad de fusión una herramienta única y útil para analizar el efecto de los flujos. El trabajo se realizó en dos fases. Primeramente, se construyó y validó un código iterativo capaz de ejecutarse en condiciones de frontera libre. Tras ello, el esfuerzo vino en proporcionar al código las herramientas y capacidades necesarias para convertirlo en un recurso útil para la comunidad. Todo este trabajo se encuentra contenido en dos artículos que se corresponden con ambas fases, uno ya publicado y otro en proceso de publicación en el momento de la escritura de este documento. Entre las propiedades principales de FLIPEC se encuentran las siguientes: • Una malla euleriana implementada inicialmente en coordenadas toroidales, donde el dominio computacional se ceñía a un círculo. El radio menor se trata numéricamente con diferencias finitas de segundo orden mientras un método pseudo-espectral se emplea sobre las dependencias poloidales. • Se adaptó para el código un esquema de actualización de la frontera computacional de manera que fuese capaz de calcular equilibrios de frontera libre. Está estrategia ya había sido implementada para el código SIESTA de manera satisfactoria [1, 2]. • Con el fin de conferir al código la posibilidad de adaptarse a cualquier dispositivo de fusión con simetría toroidal, se implementaron coordenadas generalizadas. Esto es esencial, ya que las corrientes puntuales que corren por las bobinas generan una singularidad en los valores del campo magnético generado, y un círculo solo se adaptaba bien a un número muy limitado de tokamaks. • Los cálculos en frontera libre disparan una inestabilidad vertical que hace al plasma desplazarse verticalmente. Hubo que introducir un efectivo esquema que corrigiese ese desplazamiento en cada iteración. • Se observó en las pruebas que, en los casos con una fuerte rotación toroidal cerca del eje magnético, la corriente total del plasma tendía a descender a lo largo de las iteraciones. Dado que, durante la operación en los reactores la corriente se mantiene fija, se añadió un algoritmo que consigue obtener equilibrios fijando la corriente del plasma. Esta estrategia puede, quizá ser replicada en un futuro para otros parámetros. Todas estas características fueron probadas con dos configuraciones de referencia asociadas a dos reactores experimentales con características notablemente diferentes: ITER, un ambicioso tokamak de gran tamaño en construcción, y NSTX, un tokamak esférico de menor tamaño y baja relación entre su radio menor y el radio mayor.
Description
Keywords
Ideal MHD, Magneto-hydrodynamics, Equilibrium with flow, Grad-Shafranov equation, Grad-Shafranov-Bernoulli equations, Free-boundary, Iterative equilibrium codes, Curvilinear coordinates, Control contours, Plasma current targeting