Self-adaptive hp finite element method with iterative mesh truncation technique accelerated with ACA
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Publication date
2023-09
Defense date
2024-03-05
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Abstract
Among the most prominent computer-aided techniques employed in Computational Electromagnetics (CEM) for the numerical resolution of the Maxwell’s equations, is the powerful and flexible Finite Element Method, or FEM. This methodology stands out among other general-purpose numerical techniques due to its versatile nature, which opens the possibility of the generation of “adapted” meshes. The most powerful type of adaptivity is the so called hp-adaptivity in which the h refinements (modification of element size) and the prefinements (variation of the polynomial order p) are performed simultaneously, providing exponential rates of convergence, even in the presence of singularities. Thus, very accurate solutions are yielded even in the presence of singularities or, equivalently, approximate solutions within engineering accuracy can be obtained by using a minimum number of unknowns. When these type of combined h and p optimal refinements for the the adaption of the mesh to the solution is made automatically, it is referred to as automatic hp-adaptivity or self-adaptive hp-finite elements. This makes hp self-adaptivity the paradigm of the future in the field of electromagnetic simulators and solvers. However, the mathematical and numerical complexity behind such techniques has until very recently relegated them to a purely academic role that is currently in the development phase. But most of the commercial simulation tools have had an academic beginning as numerical in-house software developed by research groups. In this regard, the research group headed by Professor Demkowicz (Texas University) has developed a novel, fully self-adaptive hp-FEM electromagnetic solver for two- and three-dimensional complex geometries. In fact, this simulator is unique in its field, as it is the only tool developed to date with fully automatic adaptivity in h and p
simultaneously applied specifically to electromagnetic problem solving. However the hp code is not originally adapted to the solution of open region problems, as FEM’s original formulation allows the analysis of finite geometries only. One of the main contributions of the work group to which the author of the present Ph. D dissertation belongs, is an optimal truncation technique for the use and extension of the original FEM formulation to open region problems. This technique is referred herein as FE-IIEE (Finite Element - Iterative Integral Equation Evaluation). Thus, working together with Prof. Demkowicz, the advisor of the present doctoral thesis and his group have successfully integrated this iterative FE-IIEE methodology into the self-adaptive hp-FEM software, obtaining a competitive hp tool for the analysis of two-dimensional electromagnetic open problems at the time this doctoral thesis was developed. Nonetheless, FE-IIEE imposes an extra computational effort to evaluate the convolutional integral appearing on the fictitious boundary where the FE-IIEE algorithm
is applied to enclose the infinite layout. And this is the framework for the research developed in this doctoral thesis. Taking advantage of the knowledge of these collaborative research groups and taking as a starting point this powerful hp-FE-IIEE auto adaptivity solver in 2D, the main goal of this Ph. D dissertation is the implementation of an accelerated technique to avoid the mentioned computational bottleneck of the self-adaptive hp-FE-IIEE software. The first objective of this research is the appropriate choice of the fast integration technique to be implemented in the hp code. In order to make this choice, two known methodologies of different nature have been pre-selected with a priori proven advantages: FMM and ACA. Both acceleration methods have been herein implemented in a 2D FEM version
truncated by means of FE-IIEE, and their performance has been studied with respect to several aspects. Due to the high accuracy imposed by hp and the double error control carried out by two different error control parameters (one for the self-adaptivity and one for the FE-IIEE iterations, placed in a double nested loop), the response of the fast integration technique to the required accuracy (by its own error control parameter), is crucial. In addition, its robustness, as well as its behavior in meshes with different h sizes and different polynomial orders, including higher p-order meshes, must be taken into account. Finally, their ease of implementation and the generality offered by each of the methods tested have been also addressed. In light of the results, it has been proven that the kernel-independent and robust ACA is the preferred algorithm for its implementation in the hp-FE-IIEE software. The second and main objective is the implementation of the method of choice in the hp-FE-IIEE code for its acceleration, studying its viability and results obtained in terms of potential loss of accuracy and computational complexity gains. A novel formulation for ACA has been implemented for its adaptation to the boundary condition used in the Integral Equation evaluation. The implementation has been validated and its performance in terms of computational savings (CPU time consumption and memory savings) has been studied. It will be shown in this doctoral dissertation that in this context ACA exhibits a robust behavior, yields good accuracy and compression levels up to 90%, and provides a good fair control of the approximation, which is a crucial advantage for hp adaptivity. Theoretical and empirical results of performance (computational complexity or CPU time) comparing the accelerated and non-accelerated versions of the method are presented. Several canonical scenarios are addressed to resemble the behavior of ACA with h, p and hp adaptive strategies, and higher order methods in general. The main conclusions yielded by this research are easily extrapolated to geometries in three dimensions, as well as to higher order contexts.
Entre las más notables técnicas asistidas por ordenador empleadas en Electromagnetismo Computacional para la resolución numérica de las ecuaciones de Maxwell, se halla el flexible Método de los Elementos Finitos o MEF. Esta metodología destaca entre otras técnicas numéricas de propósito general debido a su naturaleza versátil, que abre la posibilidad de la generación de mallas “adaptadas”. El tipo de adaptatividad más avanzado y eficiente es la denominada adaptatividad hp en la que los refinamientos en h (modificación del tamaño de los elementos) y los refinamientos en p (variación del orden polinomial p de la aproximación dentro de los elementos) se realizan simultáneamente, proporcionando tasas exponenciales de convergencia del error incluso en presencia de singularidades de campo. De este modo, se obtienen soluciones muy precisas también en presencia de singularidades o, lo que es lo mismo, soluciones aproximadas con precisión ingenieril utilizando un número mínimo de incógnitas. Cuando este tipo de refinamientos óptimos combinados h y p para la adaptación de la malla a la solución se realiza automáticamente, se denomina adaptatividad automática hp o elementos finitos hp autoadaptativos. Esto convierte a la autoadaptatividad hp en el paradigma del futuro en el campo de los simuladores y resolvedores electromagnéticos. Sin embargo, la complejidad matemática y numérica de estas técnicas las ha relegado hasta hace muy poco a un papel puramente académico que actualmente se encuentra en fase de desarrollo. Pero la mayoría de las herramientas de simulación comerciales han tenido un comienzo académico como software numérico interno desarrollado por grupos de investigación. En este sentido, el grupo de investigación dirigido por el profesor Demkowicz (Universidad de Texas) ha desarrollado un novedoso resolvedor electromagnético hp-FEM totalmente autoadaptativo para geometrías complejas bidimensionales y tridimensionales. De hecho, este simulador es único en su campo, ya que es la única herramienta desarrollada hasta la fecha con adaptabilidad totalmente automática en h y p simultáneamente que esté aplicada específicamente a la solución de problemas electromagnéticos Sin embargo, este código hp de la Universidad de Texas no está originalmente adaptado a la solución de problemas de regiones abiertas, ya que la formulación original del MEF solo permite el análisis de dominios finitos. Una de las principales aportaciones del grupo de trabajo al que pertenece la autora de la presente tesis doctoral es una técnica de truncamiento óptimo de malla para la utilización y extensión de la formulación original del MEF a problemas de regiones abiertas. Esta técnica se denomina FE-IIEE (Finite Element - Iterative Integral Equation Evaluation). Así, trabajando conjuntamente con el Prof. Demkowicz, el director de la presente tesis doctoral y su grupo han integrado con éxito esta metodología iterativa FE-IIEE en el software autoadaptativo hp- FEM, obteniendo una herramienta hp competitiva para el análisis de problemas electromagnéticos abiertos bidimensionales en el momento en que se desarrolló esta tesis doctoral. No obstante, FE-IIEE impone un esfuerzo computacional extra para evaluar la integral convolucional que aparece en la frontera ficticia donde se aplica el algoritmo FE-IIEE para encerrar el dominio infinito del problema a analizar. Y este es el marco de la investigación desarrollada en esta tesis doctoral. Aprovechando el conocimiento de estos grupos de investigación colaborativos, y tomando como punto de partida este potente resolvedor hp-FE-IIEE autoadaptativo en 2D, el objetivo principal de esta tesis doctoral es la implementación de una técnica acelerada para evitar el mencionado cuello de botella computacional del software hp-FE-IIEE autoadaptativo. El primer objetivo de esta investigación es la elección adecuada de la técnica de integración rápida que se aplicar ‘a en el código hp. Para realizar esta elección, se han preseleccionado dos metodologías conocidas de distinta naturaleza con ventajas a priori demostradas: FMM y ACA. Ambos métodos de aceleración se han implementado aquí en una versión 2D del MEF truncada mediante FE-IIEE, y se ha estudiado su rendimiento con respecto a varios aspectos. Debido a la alta precisión impuesta por hp y al doble control del error llevado a cabo por dos parámetros de control de errores diferentes (uno para la autoadaptatividad y otro para las iteraciones FE-IIEE, colocados en un doble bucle anidado), la respuesta de la técnica de integración rápida a la precisión requerida (por su propio parámetro de control del error), es crucial. Además, su robustez, así como su comportamiento en mallas con diferentes tamaños h y diferentes órdenes polinómicos, incluidas las mallas de alto orden p, deben ser tenidos en cuenta. Por ´ultimo, también se han tenido en cuenta la facilidad de aplicación y la generalidad que ofrece cada uno de los métodos ensayados. A la luz de los resultados, se ha demostrado que el algoritmo ACA, independiente del kernel del problema, y extremadamente robusto, es el algoritmo preferido para su implementación en el software hp-FE-IIEE. El segundo y principal objetivo es la implementación del método elegido previamente en el código hp-FE-IIEE para su aceleración, estudiando su viabilidad y los resultados obtenidos en términos de potencial perdida de precisión y ahorro obtenido en la complejidad computacional. Se ha implementado una formulación novedosa del ACA para su adaptación a la condición de contorno utilizada en la evaluación de la Ecuación Integral. Se ha validado la implementación y se ha estudiado su rendimiento en términos de ahorro computacional (consumo de tiempo de CPU y ahorro de memoria). Se demostrará en esta tesis doctoral que en este contexto ACA exhibe un comportamiento robusto, arroja buenos niveles de precisión y compresión de hasta el 90 %, y proporciona un muy buen control de las aproximaciones, lo cual es una ventaja crucial para la adaptabilidad hp. Se presentan resultados teóricos y empíricos de rendimiento (complejidad computacional o tiempo de CPU) comparando las versiones acelerada y no acelerada del método. Se abordan varios escenarios canónicos para asemejar el comportamiento de ACA con estrategias adaptativas h, p y hp, y con los métodos de orden elevado en general. Las principales conclusiones de esta investigación son fácilmente extrapolables a geometrías en tres dimensiones, así como a contextos de alto orden polinomial, p.
Entre las más notables técnicas asistidas por ordenador empleadas en Electromagnetismo Computacional para la resolución numérica de las ecuaciones de Maxwell, se halla el flexible Método de los Elementos Finitos o MEF. Esta metodología destaca entre otras técnicas numéricas de propósito general debido a su naturaleza versátil, que abre la posibilidad de la generación de mallas “adaptadas”. El tipo de adaptatividad más avanzado y eficiente es la denominada adaptatividad hp en la que los refinamientos en h (modificación del tamaño de los elementos) y los refinamientos en p (variación del orden polinomial p de la aproximación dentro de los elementos) se realizan simultáneamente, proporcionando tasas exponenciales de convergencia del error incluso en presencia de singularidades de campo. De este modo, se obtienen soluciones muy precisas también en presencia de singularidades o, lo que es lo mismo, soluciones aproximadas con precisión ingenieril utilizando un número mínimo de incógnitas. Cuando este tipo de refinamientos óptimos combinados h y p para la adaptación de la malla a la solución se realiza automáticamente, se denomina adaptatividad automática hp o elementos finitos hp autoadaptativos. Esto convierte a la autoadaptatividad hp en el paradigma del futuro en el campo de los simuladores y resolvedores electromagnéticos. Sin embargo, la complejidad matemática y numérica de estas técnicas las ha relegado hasta hace muy poco a un papel puramente académico que actualmente se encuentra en fase de desarrollo. Pero la mayoría de las herramientas de simulación comerciales han tenido un comienzo académico como software numérico interno desarrollado por grupos de investigación. En este sentido, el grupo de investigación dirigido por el profesor Demkowicz (Universidad de Texas) ha desarrollado un novedoso resolvedor electromagnético hp-FEM totalmente autoadaptativo para geometrías complejas bidimensionales y tridimensionales. De hecho, este simulador es único en su campo, ya que es la única herramienta desarrollada hasta la fecha con adaptabilidad totalmente automática en h y p simultáneamente que esté aplicada específicamente a la solución de problemas electromagnéticos Sin embargo, este código hp de la Universidad de Texas no está originalmente adaptado a la solución de problemas de regiones abiertas, ya que la formulación original del MEF solo permite el análisis de dominios finitos. Una de las principales aportaciones del grupo de trabajo al que pertenece la autora de la presente tesis doctoral es una técnica de truncamiento óptimo de malla para la utilización y extensión de la formulación original del MEF a problemas de regiones abiertas. Esta técnica se denomina FE-IIEE (Finite Element - Iterative Integral Equation Evaluation). Así, trabajando conjuntamente con el Prof. Demkowicz, el director de la presente tesis doctoral y su grupo han integrado con éxito esta metodología iterativa FE-IIEE en el software autoadaptativo hp- FEM, obteniendo una herramienta hp competitiva para el análisis de problemas electromagnéticos abiertos bidimensionales en el momento en que se desarrolló esta tesis doctoral. No obstante, FE-IIEE impone un esfuerzo computacional extra para evaluar la integral convolucional que aparece en la frontera ficticia donde se aplica el algoritmo FE-IIEE para encerrar el dominio infinito del problema a analizar. Y este es el marco de la investigación desarrollada en esta tesis doctoral. Aprovechando el conocimiento de estos grupos de investigación colaborativos, y tomando como punto de partida este potente resolvedor hp-FE-IIEE autoadaptativo en 2D, el objetivo principal de esta tesis doctoral es la implementación de una técnica acelerada para evitar el mencionado cuello de botella computacional del software hp-FE-IIEE autoadaptativo. El primer objetivo de esta investigación es la elección adecuada de la técnica de integración rápida que se aplicar ‘a en el código hp. Para realizar esta elección, se han preseleccionado dos metodologías conocidas de distinta naturaleza con ventajas a priori demostradas: FMM y ACA. Ambos métodos de aceleración se han implementado aquí en una versión 2D del MEF truncada mediante FE-IIEE, y se ha estudiado su rendimiento con respecto a varios aspectos. Debido a la alta precisión impuesta por hp y al doble control del error llevado a cabo por dos parámetros de control de errores diferentes (uno para la autoadaptatividad y otro para las iteraciones FE-IIEE, colocados en un doble bucle anidado), la respuesta de la técnica de integración rápida a la precisión requerida (por su propio parámetro de control del error), es crucial. Además, su robustez, así como su comportamiento en mallas con diferentes tamaños h y diferentes órdenes polinómicos, incluidas las mallas de alto orden p, deben ser tenidos en cuenta. Por ´ultimo, también se han tenido en cuenta la facilidad de aplicación y la generalidad que ofrece cada uno de los métodos ensayados. A la luz de los resultados, se ha demostrado que el algoritmo ACA, independiente del kernel del problema, y extremadamente robusto, es el algoritmo preferido para su implementación en el software hp-FE-IIEE. El segundo y principal objetivo es la implementación del método elegido previamente en el código hp-FE-IIEE para su aceleración, estudiando su viabilidad y los resultados obtenidos en términos de potencial perdida de precisión y ahorro obtenido en la complejidad computacional. Se ha implementado una formulación novedosa del ACA para su adaptación a la condición de contorno utilizada en la evaluación de la Ecuación Integral. Se ha validado la implementación y se ha estudiado su rendimiento en términos de ahorro computacional (consumo de tiempo de CPU y ahorro de memoria). Se demostrará en esta tesis doctoral que en este contexto ACA exhibe un comportamiento robusto, arroja buenos niveles de precisión y compresión de hasta el 90 %, y proporciona un muy buen control de las aproximaciones, lo cual es una ventaja crucial para la adaptabilidad hp. Se presentan resultados teóricos y empíricos de rendimiento (complejidad computacional o tiempo de CPU) comparando las versiones acelerada y no acelerada del método. Se abordan varios escenarios canónicos para asemejar el comportamiento de ACA con estrategias adaptativas h, p y hp, y con los métodos de orden elevado en general. Las principales conclusiones de esta investigación son fácilmente extrapolables a geometrías en tres dimensiones, así como a contextos de alto orden polinomial, p.
Description
Keywords
Hp-automatic adaptivity, Mesh truncation, Adaptive cross approximation, Finite element method