Publication: Novel schemes for adaptive rejection sampling
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Publication date
2011-07
Defense date
2011-07-04
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Abstract
We address the problem of generating random samples from a target probability distribution, with density function ๐โ, using accept/reject methods. An "accept/reject sampler" (or, simply, a "rejection sampler") is an algorithm that first draws a random variate from a proposal distribution with density ๐น (where ๐น โ ๐โ, in general) and then performs a test to determine whether the variate can be accepted as a sample from the target distribution or not. If we apply the algorithm repeatedly until we accept ๐ times, then we obtain a collection of ๐ independent and identically distributed (i.i.d.) samples from the distribution with density ๐โ. The goal of the present work is to devise and analyze adaptive rejection samplers that can be applied to generate i.i.d. random variates from the broadest possible class of probability distributions. Adaptive rejection sampling algorithms typically construct a sequence of proposal functions ๐นโ, ๐นโ,... ๐นโ..., such that (a) it is easy to draw i.i.d. samples from them and (b) they converge, in some way, to the density ๐โ of the target probability distribution. When surveying the literature, it is simple to identify several such methods but virtually all of them present severe limitations in the class of target densities,๐โ, for which they can be applied. The "standard" adaptive rejection sampler by Gilks and Wild, for instance, only works when ๐โ is strictly log-concave. Through Chapters 3, 4 and 5 we introduce a new methodology for adaptive rejection sampling that can be used with a broad family of target probability densities (including, e.g., multimodal functions) and subsumes Gilks and Wild's method as a particular case. We discuss several variations of the main algorithm that enable, e.g., sampling from some particularly "difficult" distributions (for instance, cases where ๐โ has log-convex tails and in nite support) or yield "automatic" software implementations using little analytical information about the target density ๐โ. Several numerical examples, including comparisons with some of the most relevant techniques in the literature, are also shown in Chapter 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En este trabajo abordamos el problema de generar muestras aleatorias de una distribuciรณn de probabilidad objetivo, con densidad ๐โ , empleando mรฉtodos de aceptaciรณn/rechazo. En un algoritmo de aceptaciรณn/rechazo, primero se genera una realizaciรณn aleatoria de una distribuciรณn tentativa con densidad ๐น (donde ๐น โ ๐โ , en general) y a continuaciรณn se realiza un test para determinar si la muestra se puede aceptar como proveniente de la distribuciรณn objetivo o no. Si se aplica el algoritmo repetidamente hasta aceptar ๐ veces, obtenemos una colecciรณn de ๐ muestras independientes y idรฉnticamente distribuidas (i.i.d.) de la distribuciรณn con densidad ๐โ. El objetivo del trabajo es proponer y analizar nuevos m รฉtodos de aceptaciรณn/rechazo adaptativos que pueden ser aplicados para generar muestras i.i.d. de la clase mรกs amplia posible de distribuciones de probabilidad. Los algoritmos de aceptaciรณn/rechazo adaptativos suelen construir una secuencia de funciones tentativas ๐นโ, ๐นโ,... ๐นโ..., tales que (a) sea fรกcil generar muestras i.i.d. a partir de ellas y (b) converjan, de manera adecuada, hacia la densidad ๐โ de la distribuciรณn objetivo. Al revisar la literatura, es sencillo identificar varios mรฉtodos de este tipo pero todos ellos presentan limitaciones importantes en cuanto a las clases de densidades objetivo a las que se pueden aplicar. El mรฉtodo original de Gilks y Wild, por ejemplo, sรณlo funciona si ๐โ es estrictamente log-cรณncava. En los Capรญ tulos 3, 4 y 5 presentamos una nueva metodologรญa para muestreo adaptativo por aceptaciรณn/rechazo que se puede utilizar con una amplia clase de densidades de probabilidad objetivo (incluyendo, por ejemplo, funciones multimodales) y comprende al mรฉtodo de Gilks y Wild como un caso particular. Se discuten diversas variaciones del algoritmo principal que facilitan, por ejemplo, el muestreo de algunas distribuciones particularmente "difรญciles" (e.g., casos en los que ๐โ tiene colas log-convexas y con soporte infinito) o una implementaciรณn software prรกcticamente "automรกtica", en el sentido de que necesitamos poca informaciรณn analรญtica acerca de la funciรณn ๐โ. En el Capรญtulo 6 mostramos varios ejemplos numรฉricos, incluyendo comparaciones con algunas de las tรฉcnicas mรกas relevantes que se pueden encontrar en la literatura.
En este trabajo abordamos el problema de generar muestras aleatorias de una distribuciรณn de probabilidad objetivo, con densidad ๐โ , empleando mรฉtodos de aceptaciรณn/rechazo. En un algoritmo de aceptaciรณn/rechazo, primero se genera una realizaciรณn aleatoria de una distribuciรณn tentativa con densidad ๐น (donde ๐น โ ๐โ , en general) y a continuaciรณn se realiza un test para determinar si la muestra se puede aceptar como proveniente de la distribuciรณn objetivo o no. Si se aplica el algoritmo repetidamente hasta aceptar ๐ veces, obtenemos una colecciรณn de ๐ muestras independientes y idรฉnticamente distribuidas (i.i.d.) de la distribuciรณn con densidad ๐โ. El objetivo del trabajo es proponer y analizar nuevos m รฉtodos de aceptaciรณn/rechazo adaptativos que pueden ser aplicados para generar muestras i.i.d. de la clase mรกs amplia posible de distribuciones de probabilidad. Los algoritmos de aceptaciรณn/rechazo adaptativos suelen construir una secuencia de funciones tentativas ๐นโ, ๐นโ,... ๐นโ..., tales que (a) sea fรกcil generar muestras i.i.d. a partir de ellas y (b) converjan, de manera adecuada, hacia la densidad ๐โ de la distribuciรณn objetivo. Al revisar la literatura, es sencillo identificar varios mรฉtodos de este tipo pero todos ellos presentan limitaciones importantes en cuanto a las clases de densidades objetivo a las que se pueden aplicar. El mรฉtodo original de Gilks y Wild, por ejemplo, sรณlo funciona si ๐โ es estrictamente log-cรณncava. En los Capรญ tulos 3, 4 y 5 presentamos una nueva metodologรญa para muestreo adaptativo por aceptaciรณn/rechazo que se puede utilizar con una amplia clase de densidades de probabilidad objetivo (incluyendo, por ejemplo, funciones multimodales) y comprende al mรฉtodo de Gilks y Wild como un caso particular. Se discuten diversas variaciones del algoritmo principal que facilitan, por ejemplo, el muestreo de algunas distribuciones particularmente "difรญciles" (e.g., casos en los que ๐โ tiene colas log-convexas y con soporte infinito) o una implementaciรณn software prรกcticamente "automรกtica", en el sentido de que necesitamos poca informaciรณn analรญtica acerca de la funciรณn ๐โ. En el Capรญtulo 6 mostramos varios ejemplos numรฉricos, incluyendo comparaciones con algunas de las tรฉcnicas mรกas relevantes que se pueden encontrar en la literatura.
Description
Keywords
Random samples, Probability distribution, Rejection sampling