Publication: Transformaciones espectrales, funciones de Carathéodory y polinomios ortogonales en la circunferencia unidad
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Publication date
2009-02
Defense date
2009-02-19
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Abstract
En el capítulo 2, se obtiene una expresión explícita para la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la transformación de Christo el en términos de la familia de los coeficientes de Verblunsky asociados con la medida original, y se lleva a cabo un análisis del comportamiento asintótico de los mismos. En el mismo capítulo, con respecto a la transformación consistente en la multiplicación de la medida por la parte real de un polinomio, se obtiene la relación entre las correspondientes funciones de Carathéodory, utilizando la representación integral de Riesz-Herglotz de la función de Carathéodory original. Dicha relación fué obtenida en [17] utilizando un método distinto. Además, se obtiene una relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg y un análisis asintótico de la familia de coeficientes de Verblunsky asociada a la medida perturbada. En el capítulo 3, se estudia la transformación de Geronimus. Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que el funcional lineal asociado a dicha transformación sea cuasi-definido asumiendo que el funcional lineal original es definido positivo. También se obtiene la expresión explícita para la nueva familia de polinomios ortogonales en términos de la sucesión de polinomios ortogonales asociados con el funcional lineal original, así como la relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg. También se estudia el comportamiento asintótico de las familias de coeficientes de Verblunsky asociadas a las transformaciones de Uvarov con una y dos masas, respectivamente. Finalmente, en el capítulo 4 se estudia la conexión entre medidas soportadas en el intervalo [1; 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, a través de la transformación de Szeg˝o. En primer lugar, se obtiene una relación entre los parámetros de la relación de recurrencia a tres términos para los polinomios ortogonales en la recta real y la familia de coeficientes de Verblunsky en la circunferencia unidad, tomando como base la factorización LU de la matriz de Jacobi correspondiente. Luego, se estudia dicha conexión en el marco de las transformaciones espectrales. Se aplican transformaciones espectrales, tanto lineales como racionales, a funciones de Stieltjes asociadas a medidas en el intervalo [1; 1] y se describe la transformación resultante en las funciones de Carathédory asociadas a las correspondientes medidas en la circunferencia unidad. El mismo análisis se lleva a cabo en la dirección contraria, es decir, aplicando transformaciones espectrales a funciones de Carathéodory y describiendo las transformaciones resultantes en las funciones de Stieltjes correspondientes.
Description
Keywords
Polinomios ortogonales, Transformadas (Matemáticas), Funciones de Carathéodory