RT Dissertation/Thesis
T1 Modelling approaches via (batch) Markov modulated poisson processes
A1 Yera Mora, Yoel Gustavo
AB This dissertation is mainly motivated by the problem of statistical modelingvia a specific point process, namely, the (Batch) Markov Modulated Poissonprocess. Point processes arise in a wide range of situations in physics,biology, engineering, or economics. In general, the occurrence of events isdefined depending on the context, but in many areas are defined by theoccurrence of an event at a specific time. Sometimes, in order to simplifythe models and obtain closed form expressions for the quantities of interest,the exponentiality and/or independence of the inter-event times is assumed.However, the independence and exponentiability assumptions become unrealisticand restrictive in practice, and therefore, there is a need of morerealistic models to fit the data.The Batch Markov Modulated Poisson Process (BMMPP) is a subclassof the versatile Batch Markovian Arrival process (BMAP) which has beenwidely used for the modeling of dependent and correlated simultaneousevents (as arrivals, failures or risk events). Both BMMPP and BMAP allowfor dependent and non-exponentially distributed inter-event times as well asfor correlated batches, but at the same time they inherit the tractability ofthe Poisson processes. Therefore, they turn out suitable models to fit datawith statistical features that differ form the classical Poisson assumptions.In spite of the large amount of works considering the BMAP subclasses ofprocesses, still there are a number of open problems of interest that will beconsidered in this dissertation, which is organized as follows.In Chapter 1, a brief theoretical background that introduces the mostimportant concepts and properties that are needed to carry out our analysesis presented. The markovian point processes and their main properties are introduced.In Chapter 2 the identifiability of the stationary BMMPPm(K) is proven,where K is the maximum batch size and m is the number of states of theunderlying Markov chain. This is a powerful result for inferential issues. Onthe other hand, some findings related to the correlation and autocorrelationstructures are provided.Chapter 3 focuses on exploring the possibilities of the BMMPP for themodeling of real phenomena involving point processes with group arrivals.The first result in this sense is the characterization of the BMMPP2(K) by aset of moments related to the inter-event time and batch size distributions.This characterization leads to a sequential fitting approach via a momentsmatching method. The performance of the novel fitting approach is illustratedon both simulated and a real teletrafic data set, and compared tothat of the EM algorithm. In addition, as an extension of the inference approach,the queue length distributions at departures in the queueing systemBMMPP=M=1 is also estimated.Unlike Chapters 2 and 3, which are devoted to the Batch Markov ModulatedPoisson Process, Chapter 4 presents an extension to the two-dimensionalcase of the Markov modulated Poisson process (MMPP), motivated by realfailure data in a two-dimensional context. The one-dimensional MMPP hasbeen proposed for the modeling of dependent and non-exponential intereventtimes (in contexts as queuing, risk or reliability, among others). Thenovel two-dimensional MMPP allows for dependence among the two sequencesof inter-event times, while at the same time preserves the MMPPproperties marginally. Such generalization is based on the Marshall-Olkinexponential distribution. Inference is undertaken for the new process througha method combining a matching moments approach and an ABC algorithm.The performance of the method is shown on simulated and real datasetsrepresenting failures of a public transport company.To conclude, Chapter 5 summarizes the most significant contributionsof this dissertation, and also gives a short description of possible researchlines.
AB Esta tesis está principalmente motivada por el problema de la modelizaciónestadística mediante un tipo específico de procesos puntuales: el (Batch)Markov Modulated Poisson process. Los procesos puntuales aparecen en unaamplia variedad de situaciones en la física, la biología, la ingeniería o laeconomía. En general, la ocurrencia de eventos se define en relación conel contexto, pero en muchas áreas están vinculados a la ocurrencia de unevento en un momento específico. En la mayoría de las ocasiones con elobjetivo de simplificar los modelos y obtener expresiones cerradas para lascantidades de interés, se asume que los tiempos entre eventos son independientesy exponencialmente distribuidos. Sin embargo, las suposiciones deindependencia y exponencialidad pueden ser poco realistas y restrictivas enla práctica, y por consiguiente, se necesitan modelos más alineados con larealidad para ajustar los datos.Los Batch Markov Modulated Poisson Processes (BMMPPs) son unasubclase de los Batch Markovian Arrival processes (BMAPs), los cuales hansido ampliamente usados para la modelización de eventos correlados (talescomo llegadas, fallos o eventos de riesgo). Tanto los BMMPPs como losBMAPs permiten la dependencia y no exponencialidad de los tiempos entreeventos así como las llegadas en grupo correladas, pero al mismo tiempoheredan la tratabilidad de los procesos de Poisson. Por lo tanto, resultan ser modelos adecuados para ajustar los datos con características estadísticasque difieren de los supuestos clásicos de los procesos de Poisson. A pesarde la gran cantidad de trabajos considerando las subclases de procesosBMAP, persisten varios problemas abiertos que son de interés y que seríanconsiderados en esta tesis, la cual se organiza de la siguiente manera.En el Capítulo 1, se presenta un breve recorrido teórico y metodológicoque introduce los conceptos y propiedades más importantes que se necesitanpara desarrollar las principales aportaciones de la tesis. Además se introducenlos procesos puntuales Markovianos y sus principales propiedades.En el Capítulo 2 se prueba la identifiabilidad del BMMPPm(K) estacionario,donde K es el tamaño máximo del grupo de llegada y m es elnúmero de estados de la cadena de Markov subyacente. Este es un resultadodeseable de cara a la inferencia. Además se prueban algunas propiedadesnuevas relacionadas con las estructuras de correlación y autocorrelación.El Capítulo 3 se centra en la exploración de las posibilidades del BMMPPpara la modelización de fenómenos reales que involucran procesos puntualescon llegadas en grupo. El primer resultado en este sentido es lacaracterización del BMMPP2(K) por un conjunto de momentos relacionadoscon los tiempos entre llegadas y la distribución del tamaño de los grupos.Esta caracterización lleva a un enfoque de ajuste secuencial a través de unmétodo de ajuste por momentos. El grado de ajuste y la potencia de estenuevo enfoque se ilustran tanto con datos simulados como con una basede datos reales de teletráfico y se compara con el algoritmo EM. Ademas,como una extensión del enfoque de inferencia, se estiman las distribucionesde la longitud de la cola en el momento en que terminan los servicios en unsistema de cola BMMPP=M=1.A diferencia de los Capítulos 2 y 3, que se dedican al Batch MarkovModulated Poisson Process, el Capítulo 4 presenta una extensión al casobidimensional del Markov Modulated Poisson process (MMPP), motivadopor datos reales de fallos en un contexto bidimensional. El modelo unidimensionalMMPP se ha propuesto para la modelización de tiempos entre eventosdependientes y no exponenciales (en contextos como la teoría de colas, elriesgo o la fiabilidad, entre otros). El nuevo MMPP bidimensional permitela dependencia entre las dos secuencias de tiempos entre eventos, mientrasconserva las propiedades del MMPP marginalmente. Esta generalizaciónse basa en la distribución exponencial bivariante Marshall-Olkin. Ademásse lleva a cabo la inferencia para el nuevo proceso a través de un métodoque combina el método de los momentos con el algoritmo ABC. Los resultados del método propuesto se muestran tanto para datos simulados como para una base de datos reales que representa los fallos de una compañía de transporte público de trenes.Para concluir, el Capítulo 5 resume las contribuciones más significativasde esta tesis, y contiene además una breve descripción de posibles líneas deinvestigación.
YR 2020
FD 2020-06
LK https://hdl.handle.net/10016/31832
UL https://hdl.handle.net/10016/31832
LA eng
NO Research partially supported by research grants and projects MTM2015-65915-R and ECO2015-66593-P (Ministerio de Economía y Competitividad,Spain) and P11-FQM-7603, FQM-329 (Junta de Andalucía, Spain) and Fundación BBVA.
DS e-Archivo
RD 3 may. 2024