Publication: Información, incertidumbre y complementariedad
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2001
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Real Sociedad Española de Física
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Cualitativamente, el principio de incertidumbre de Heisenberg establece la imposibilidad de preparar un sistema cuántico en un estado en el que los valores de dos observables incompatibles estén simultáneamente determinados con precisión arbitraria. La formulación matemática usual de este principio es la llamada desigualdad de Heisenberg, ΔAΔB ≥ 1/2 [A,B]> que pone una cota inferior al producto de las desviaciones estándar de los observables A y B cuando éstos no conmutan ([A,B] <> 0). Sin embargo, en años recientes se ha puesto de manifiesto por parte de diversos autores que esta desigualdad no es capaz en general de expresar cuantitativamente de manera satisfactoria el contenido físico del principio de incertidumbre. Entre las diversas alternativas propuestas, resultan especialmente interesantes las llamadas relaciones de incertidumbre entrópicas, que son cotas inferiores a la suma de las entropías de información de Shannon correspondientes a las distribuciones de probabilidad para los posibles resultados de las medidas de A y B. Puede demostrarse que desigualdades no triviales de este tipo existen para cualquier par de observables sin estados propios comunes, y resultan siempre una expresión cuantitativa satisfactoria del principio de incertidumbre al poner una cota superior a la información (en el sentido riguroso que le da a esta palabra la teoría de Shannon) que podemos tener a la vez sobre los observables A y B.
El objetivo de este artículo es presentar algunos resultados obtenidos por el autor en años recientes sobre la formulación entrópica del principio de incertidumbre, en particular los relativos a su extensión a conjuntos de más de dos observables que no conmutan dos a dos. Como ilustra el ejemplo de los N+1 observables complementarios (según la definición de Schwinger) existentes en espacios de Hilbert de dimensión N, para dichos conjuntos pueden existir relaciones de incertidumbre más fuertes que las que se obtienen a partir de las que satisfacen las parejas incluidas en el conjunto. Además, para clases particulares de estados como por ejemplo los estados puros pueden existir también desigualdades no triviales de signo opuesto que pueden considerarse como "relaciones de certidumbre".
En su versión cualitativa, el principio de incertidumbre fue descubierto por Heisenberg para el caso del par posición-momento, considerando una serie de experimentos gedanken entre los que figura el de la difracción de un haz de partículas por una rendija. Es un hecho remarcable que éste es precisamente uno de los casos en los que la desigualdad de Heisenberg no resulta satisfactoria como expresión matemática del principio de incertidumbre para la posición y el momento, a diferencia de la relación de incertidumbre entrópica. Lo mismo ocurre para la difracción por una rendija doble (experimento de Young), donde por otra parte se encuentra que la relación de incertidumbre entrópica no es lo suficientemente fuerte como para implicar la dualidad onda-partícula, lo que viene a apoyar la consideración de ésta como una manifestación independiente del principio de complementariedad más que como una consecuencia del principio de incertidumbre.
El objetivo de este artículo es presentar algunos resultados obtenidos por el autor en años recientes sobre la formulación entrópica del principio de incertidumbre, en particular los relativos a su extensión a conjuntos de más de dos observables que no conmutan dos a dos. Como ilustra el ejemplo de los N+1 observables complementarios (según la definición de Schwinger) existentes en espacios de Hilbert de dimensión N, para dichos conjuntos pueden existir relaciones de incertidumbre más fuertes que las que se obtienen a partir de las que satisfacen las parejas incluidas en el conjunto. Además, para clases particulares de estados como por ejemplo los estados puros pueden existir también desigualdades no triviales de signo opuesto que pueden considerarse como "relaciones de certidumbre".
En su versión cualitativa, el principio de incertidumbre fue descubierto por Heisenberg para el caso del par posición-momento, considerando una serie de experimentos gedanken entre los que figura el de la difracción de un haz de partículas por una rendija. Es un hecho remarcable que éste es precisamente uno de los casos en los que la desigualdad de Heisenberg no resulta satisfactoria como expresión matemática del principio de incertidumbre para la posición y el momento, a diferencia de la relación de incertidumbre entrópica. Lo mismo ocurre para la difracción por una rendija doble (experimento de Young), donde por otra parte se encuentra que la relación de incertidumbre entrópica no es lo suficientemente fuerte como para implicar la dualidad onda-partícula, lo que viene a apoyar la consideración de ésta como una manifestación independiente del principio de complementariedad más que como una consecuencia del principio de incertidumbre.
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Revista Española de Física, 2001, vol. 15, n. 4, p. 28-33