Differentiation matrices and applications to lotka-volterra competing systems with variable coefficients, the biharmonic equation and sherwood number

Abstract

In this thesis we present a pseudospectral method in an interval, in the disk and in the circular annulus. Unlike the methods already known, the disk is not duplicated. Moreover, we solve the Laplace equation under non-homogeneous Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions, by only using the elements of the corresponding differentiation matrices. It is worth mentioning that we do not use any quadrature, nor need to solve any decoupled system of ordinary di erential equations, nor use any pole condition, nor require any lifting. We also solve several numerical examples to show the spectral convergence. The pseudospectral method developed in this thesis is applied to estimate Sherwood numbers integrating the mass flux to the disk and we also implement it to solve Lotka-Volterra systems and nonlinear diffusion problems involving chemical reactions. Furthermore, we simulate numerically the classical positive solutions, large solutions and metasolutions of the degenerate diffusive logistic equation with spatial heterogeneities in an interval and in the disk through a collocation spectral method presented here. Some metasolutions of the different branches of metasolutions for the logistic equation introduced in [27] are simulated by the first time. Moreover, we simulate numerically through a collocation spectral method jointly with pathfollowing techniques the classical and non-classical non-negative branches of solutions of Lotka- Volterra competing systems allowing the presence of spatial heterogeneities. Some of these solutions are simulated for the first time. Also we prove the convergence of an innovative Chebyshev-Gauss-Lobatto( (CGL) pseudospectral method applied to fourth order boundary value problems. The proposed method enjoyed all the advantageous of the pseudospectral methods. Moreover, we can select (N - 3) interior CGL collocation points to enforce the equation, meanwhile we use the remaining four collocation points to assure the boundary conditions. In addition, the numerical methods introduced in this thesis are extremely innovative because they can be used to solve non-radially symmetric problems. The models are of a huge interest in Spatial Ecology because they enable us to analyse the effects of the spatial heterogeneity on the evolution of the terrestrial ecosystems.

En esta tesis doctoral presentamos un método pseudoespectral en un intervalo, en el disco y en un anillo circular. A diferencia de otros métodos conocidos, el disco no está duplicado. Más aún, resolvemos la ecuación de Laplace bajo condiciones de frontera de tipo Dirichlet, Neumann y Robin, haciendo uso únicamente de los elementos de las matrices de diferenciación correspondientes. Vale la pena mencionar que no utilizamos ningún tipo de cuadratura ni necesitamos resolver ningún sistema desacoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias, ni tampoco el uso de una condición de polo, ni siquiera se requiere un ”lifting”. También resolvemos numéricamente diversos ejemplos para mostrar la convergencia espectral. El método pseudoespectral desarrollado en esta tesis es aplicado para estimar el número de Sherwood integrando el flujo de masa en el borde del disco. También es implementado para resolver sistemas Lotka-Volterra de competición y problemas de difusión no lineales. Asimismo, simulamos numéricamente a través de un método espectral de colocación las soluciones clásicas positivas, las soluciones largas y las metasoluciones de la ecuación logística difusiva degenerada con heterogeneidades espaciales en un intervalo y en el disco. Algunas metasoluciones de diferentes ramas de metasoluciones para la ecuación logística introducidas en [27] son simuladas por primera vez. Además, simulamos numéricamente las soluciones clásicas no negativas y las soluciones no clásicas de los sistemas de competición de Lotka-Volterra a través de un método espectral de colocación junto con técnicas de continuación numérica de ramas de soluciones, permitiendo la presencia de heterogeneidades espaciales. Algunas de estas soluciones se simulan por primera vez. También probamos la convergencia de un método pseudoespectral innovador de Chebyshev-Gauss-Lobatto (CGL) aplicado a problemas de valores contorno de cuarto orden. El método propuesto disfruta de todas las ventajas de los métodos pseudoespectrales. Además, podemos seleccionar (N - 3) CGL puntos interiores de colocación donde forzar la ecuación, mientras utilizamos los cuatro puntos de colocación restantes para asegurar las condiciones de frontera. Los métodos numéricos presentados en esta tesis son extremadamente innovadores porque sirven para resolver problemas radialmente no simétricos. Además, los modelos son de un enorme interés en Ecología Espacial porque nos permiten analizar los efectos de las heterogeneidades espaciales en la evolución de los ecosistemas terrestres.