Analytic properties of Krall-type and Sobolev-type orthogonal polynomials

Abstract

Esta tesis incluye cinco capítulos, y está dedicada al estudio de familias de polinomios ortogonales de tipo estándar y no estándar. A continuación resumimos brevemente las conclusiones aportadas por la presente memoria. • Se realiza por primera vez un estudio completo del comportamiento de los zeros de familias de polinomios ortogonales con respecto a una medidas modificadas mediante perturbaciones canónicas de tipo Uvarov y Christoffel . El comportamiento de estos ceros se da en términos del parámetro M, el cual determina cómo es la intensidad de la perturbación sobre la medida clásica. Hasta el momento, se habían realizado progresos significativos en esta dirección a través de aproximaciones semiclásicas, y solamente tratando el comportamiento de propiedades promedio de los ceros, usando el método de WKB. • Se obtienen resultados asintóticos de las secuencias de polinomios ortogonales mónicos con respecto a la perturbación de Uvarov de la medida clásica de Laguerre, como ejemplo canónico de perturbación fuera del soporte de una medida clásica con soporte no acotado. Hasta la fecha, los puntos de masa se localizaban en la frontera (o fronteras) del soporte de la medida perturbada. • Se proporciona un modelo electrostático de los ceros de la familia de polinomios ortogonales con respecto a una medida de Laguerre perturbada, con una cantidad numerable m de puntos de masa, fuera del soporte de la medida clásica de Laguerre. Hasta el momento, el único trabajo similar consideraba un solo punto de masa en el origen. Igualmente, describimos el comportamiento de los ceros de los polinomios ortogonales tipo-Krall en términos de los ceros de cierto polinomio de grado 2m (siendo m el número de masas de Dirac que aparecen en la medida), y que son las fuentes de un potencial logarítmico de corto alcance que afecta a la localización de los ceros de las secuencias de polinomios ortogonales Krall-Laguerre, considerados como puntos críticos de un problema de equilibrio. • Igualmente se obtienen propiedades asintóticas de secuencias de polinomios ortogonales mónicos de tipo Laguerre-Sobolev, cuando los puntos de masa están situados fuera del soporte de la medida clásica de Laguerre. Hasta la fecha, los puntos de masa se localizaban en la frontera (o fronteras) de los soportes de las medidas perturbadas.