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Volatility models with Leverage effect

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URI: http://hdl.handle.net/10016/10411
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tesis_maria_jose_rodriguez.pdf (2.67 MB)
Publication date
2010-12
Defense date
2011-02-21
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Abstract
El objetivo de esta tesis es analizar y comparar la capacidad de algunos de los modelos habituales de series temporales para representar la volatilidad de las series financieras y sus características más importantes. En concreto, una de las principales consiste en que las series suelen presentan mayor número de observaciones extremas que las esperadas bajo Gausianidad. Además, las observaciones se agrupan de tal manera que tras movimientos grandes siguen movimientos grandes, mientras que por el contrario, cuando los movimientos comienzan a ser pequeños siguen siéndolo durante cierto tiempo. Este agrupamiento de volatilidad se refleja a través de la autocorrelación de cuadrados que suele ser significativa, positiva y presenta decaimiento exponencial. Finalmente, otra característica extensamente observada y propuesta por Black (1976) es la respuesta asimétrica de la volatilidad ante rendimientos positivos o negativos y conocida como leverage effect. En concreto, el incremento en la volatilidad es mayor cuando los retornos anteriores son negativos que cuando éstos son de la misma magnitud pero positivos. La presencia de este tipo de comportamiento se detecta en las correlaciones cruzadas entre rendimientos y rendimientos futuros al cuadrado, que habitualmente son significativos y negativos. Los modelos considerados en esta tesis son algunos de los más conocidos dentro de la familia de modelos GARCH de leverage effect. Son el modelo Quadratic GARCH (QGARCH), propuesto de manera independiente por Engle y Ng (1993) y Sentana (1995), el modelo Threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994), el modelo GJR de Glosten et al. (1993), el modelo GARCH Exponencial (EGARCH) de Nelson (1991) y el modelo Asymmetric Power GARCH (APARCH) de Ding et al. (1993). En esta tesis, nos centramos en el análisis bajo dos perspectivas diferentes. En primer lugar, desde un punto de vista teórico, en el Capítulo 2 estudiamos y comparamos cómo la dinámica de la volatilidad representada por cada modelo queda restringida al asumir que éste verifica las condiciones de positividad para la varianza, la estacionariedad y la existencia de kurtosis finita. Éstas condiciones se definen unívocamente para cada modelo como consecuencia de la forma funcional que lo define y limitan su espacio paramétrico. Además, en la Sección 2.3 analizamos a través de la metodología Monte Carlo, como incluso partiendo de series construidas bajo modelos GARCH asimétricos con momentos finitos, podría llegarse a conclusiones diferentes dependiendo del tipo de modelo elegido para ajustar las series. Finalmente, en la Sección 2.4 se consideran series financieras reales para ilustrar las capacidades descritas en el Capítulo 2 para los distintos modelos. Las conclusiones del capítulo se recogen en la Sección 2.5, e indican que los modelos se agrupan bajo dos patrones diferenciados. En primer plano estarían los modelos TGARCH, EGARCH y APARCH, para los que las restricciones sobre los parámetros no condicionan la dinámica de los modelos cuando se ajustan a series financieras. Por otro lado, la volatilidad condicional estimada por estos tres modelos es muy similar. En otro plano estarían los modelos QGARCH y GJR cuyas restricciones para la existencia de los momentos limitan fuertemente la dinámica de la volatilidad que pueden representar. En la práctica, tras ajustar un modelo GARCH concreto a una serie temporal de rendimientos, es habitual analizarlo comparando los mometos muestrales de la serie con los plug-in inferidos por el modelo. En el Capítulo 3 estudiamos si este segundo enfoque de análisis es o no adecuado. Las secciones 3.2 y 3.3 se ocupan del estudio de los modelos mediante metodologías Monte Carlo, mientras en que la Sección 3.4 se reserva al análisis bajo casos reales de series financieras. Las conclusiones desarrolladas en la Sección 3.5 indican, entre otros aspectos, cómo el diferente comportamiento entre los momentos muestrales y plug-in con respecto a los poblaciones, puede conllevar a conclusiones inapropiadas. Como capítulo final, en el Capítulo 4 se resumen las principales conclusiones extraídas de los capítulos anteriores y se puntualizan algunas futuras líneas de estudio que surgen como consecuencia de lo expuesto en esta tesis. Entre ellas, cabe destacar la importancia de comparar las propiedades aquí estudiadas bajo el enfoque de la predicción, analizando el impacto de imponer condiciones de existencia de momentos sobre la capacidad predictiva de los modelos. Por otro lado, también sería de interés analizar las capacidades de los de volatilidad estocástica bajo los mismos enfoques de estudio que hemos planteado para los modelos GARCH de leverage effect.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ In this thesis we focus on analyzing and comparing the ability of asymmetric GARCH models to represent conditional volatility when it has leverage effect. In Chapter 2 we compare the theoretical limitations of several GARCH-type models when their parameters are restricted to satisfy positivity, stationarity and finite kurtosis restrictions. This limitations come from the functional form selected to represent the volatility under each model. We show that the QGARCH and GJR models although very popular in empirical applications, lack of exibility to represent the asymmetry often observed in real time series of financial returns. In the first model, the limitations come mostly from the positivity restriction because it strongly limits the maximum value for the asymmetry parameter, δQ, when α is small, which is the case for financial time series. In the GJR model, is the finite kurtosis restriction, above all, the one that limits the asymmetry of the model. This condition is even more restrictive the larger is β and the smaller is α, which are again the usual combination of parameters when fitting real financial data. On the other hand, the TGARCH and EGARCH models show more exibility to represent the dynamic evolution of volatilities when they are restricted to guarantee stationarity and finite kurtosis together with positive conditional variances. In Chapter 3 we study whether comparing sample moments of a series as, for example, kurtosis, autocorrelations of squares or cross-correlations with the corresponding plug-in values implied by a fitted is appropriate in order to decide about the adequacy of the model. We conclude that plug-in and sample moments have very different properties as estimators of their corresponding population moments. Consequently comparing them is not adequate independently of the asymmetric GARCH model considered. Within the models considered, QGARCH, TGARCH or EGARCH, the QGARCH model show the biggest dispersion between sample and plug-in moments when compared to corresponding quantities obtained when analyzing TGARCH or EGARCH models. As we mentioned in previous chapters, it is of interest to analyze the abilities of asymmetric Stochastic Volatility Models from the same points of view considered in Chapter 2, checking their theoretical limitations, and in Chapter 3, revisiting the relationships between their sample, plug-in and population moments. Finally, from a predictive perspective, comparing the predictive limitations that each model could show from the restrictions that arise from the volatility expressions of both asymmetric GARCH and asymmetric Stochastic Volatility models it is doubtless a question to be considered in future research.
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Keywords
Análisis de series temporales, Volatilidad, Finanzas, Volatility, Leverage effect
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Tesis Doctorales