Publication:
Smoothed particle hydrodynamics and its application to fusion-relevant MHD problems

Loading...
Thumbnail Image
Identifiers
Publication date
2018-09
Defense date
2019-02-18
Tutors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Impact
Google Scholar
Export
Research Projects
Organizational Units
Journal Issue
Abstract
SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) is a Lagrangian numerical method to solve the equations of hydrodynamics. It has been used by the Astrophysical community to model MHD (Magnetohydrodynamical) phenomena quite successfully. Its La- grangian nature allows for the discretisation of the all MHD equations without the need of an underlying structured mesh. In SPH the equation of motion is derived from a Hamiltonian formalism which endows the equations with perfect mass, momentum and energy conservation properties simultaneously, and warrantees that the particles will evolve through successive stages of minimum energy forming a glass-like (Unlike a Monte-Carlo method where the particles can become quite disordered) underlying mesh that moves with the fluid. All the physical fields of the MHD model are then defined over the moving mesh and smooth fields are constructed through an interpolation technique. Unlike PIC codes, in an explicit time integration of the SPH equations all the fields are carried by the particles (including the Electromagnetic fields) and no matrix inversion, or preconditioning, is necessary to find the resulting forces on the particles, this important characteristic gives SPH the potential to be efficiently parallelised into many processors without the added complexity of inverting Poisson’s equation in the process. One of the most salient features of SPH is its ability to formulate all the evolution equations in Cartesian coordinates even when the system geometry is not Cartesian, this allows to tackle complex geometries, like the ones found in the latest gener- ation of fusion-relevant machines like ITER and the Wendestein-7X, with relative simplicity. Despite its success in simulating astrophysical plasmas, SPH has never been used to simulate laboratory plasmas, nor plasmas of fusion interest. The main result of this thesis is the EVA code, that attempts to do just that. Written in FORTRAN90, EVA is an SPH implementation of the nonlinear MHD equations with fusion geometries in mind that overcomes the three main challenges when dealing with laboratory plasmas: The presence of boundaries (flat and curved), the need for adequate boundary conditions on all MHD variables, and the construction of tailored initial conditions for arbitrarily complex density profiles and very low-levels of particle noise. Altogether, this allows EVA to simulate MHD scenarios of fusion interest. In this thesis we present the details behind EVA’s internal algorithms, we benchmark it against standard SPH tests found in the literature, and finally, we compare the obtained results of the evolution of three cylindrical plasma columns (Theta-pinch, Zeta-pinch and Screw-pinch) with the behaviour predicted by the linear theory. The results are encouraging and the proposed future work reflects the directions that need to be followed in order to make EVA a competitive player in the simulation of realistic fusion systems in the near future.
SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) es un método numérico de carácter Lagrangiano diseñado para resolver las ecuaciones de hidrodinámica. Este método también ha sido usado por la comunidad astrofísica para modelar exitosamente los fenómenos descritos por el modelo magnetohidrodinámica (MHD). Particularmente, la naturaleza Lagrangiana del método le permite discretizar las ecuaciones del modelo MHD sin la necesidad de una malla estructurada y la ecuación de movimiento se deriva a través de un formalismo Hamiltoniano que termina otorgándole una conservación perfecta de masa, momento (tanto lineal como angu- lar) y energía de manera simultánea. A su vez, esto garantiza que la evolución de las partículas será a través de estados consecutivos de mínima energía formando una estructura subyacente amorfa que se desplaza siguiendo al fluido (Opuesto a lo que ocurre en métodos Monte-Carlo donde las partículas llegan a desordenarse comple- tamente). Todas las variables físicas del modelo MHD están entonces definidas sobre esta malla amorfa y sobre esta se pueden construir campos continuos utilizando técnicas de interpolación. A diferencia de los métodos PIC, durante una integración explicita en SPH de las ecuaciones MHD, todas las variables están definidas sobre las partículas (incluidos el campo eléctrico y el magnético) y por lo tango no es necesaria la inversión de ninguna matriz, ni su (pre-)condicionamiento, para calcular las fuerzas en el sistema; Esta característica es muy importante en SPH puesto que dota al método de un gran potencial para ser paralelizado y distribuir las operaciones numéricas en varios procesadores. Una de las propiedades más interesantes del método SPH es su habilidad de for- mular la evolución de las variables físicas del sistema en coordenadas cartesianas, aun cuando la geometría del dominio utilizado no sea propiamente cartesiana. Esto permite estudiar escenarios con geometrías bastante complejas (como la ul- tima generación de reactores nucleares de fusión: ITER y el Wendelstein 7-X) sin tener que modificar las ecuaciones de evolución ni modificar significativamente su implementación numérica. A pesar de su enorme éxito simulando plasmas astrofísicos, SPH nunca ha sido utilizado para simular plasmas de laboratorio o plasmas de fusión nuclear. El principal resultado de esta tesis es el código EVA. Escrito en FORTRAN90, EVA es una implementación de las ecuaciones de MHD no-lineales, discretizadas con el método SPH, que lleva consigo la intención de simular plasmas inmersos en configuraciones magnéticas relevantes para la fusión y que ofrece soluciones a los tres principales retos a la hora de lidiar con plasmas de laboratorio: La presencia de fronteras tanto planas como curvas en el sistema, el tratamiento adecuado de las condiciones de contorno de las variables físicas en la vecindad de dichas fronteras, y la necesidad de tener una condición inicial donde él perfile de densidad no necesariamente es plano ni posee ningún tipo de simetría y en donde los niveles de ruido numérico deben ser tan pequeños como sea posible. Todo esto le permite a EVA simular escenarios relevantes para la fusión. En esta tesis se presentan los detalles detrás de los algoritmos internos de EVA, se comprueba que el código pasa con éxito los tests típicos a los que se someten los códigos SPH, y finalmente se compara la evolución de tres configuraciones magnéticas de columnas cilíndricas de plasma (el pinch theta, el pinch zeta y el pinch cruzado) con el comportamiento predicho por el análisis lineal teórico. Los resultados obtenidos nos dan confianza en el código y nuestro trabaja futuro refleja las medidas que se deben tomar para convertir a EVA en un jugador más en la competencia por simulaciones cada vez más realistas de plasmas confinados magnéticamente para la fusión.
SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) is een Lagrangiaanse numerische methode om de hydrodynamische vergelijkingen op te lossen. Deze methode is al toegepast in de astrofysische wetenschap om magnetohydrodynamische fenomenen te modeleren met redelijk succes. Het feit dat de methode een Lagrangiaanse natuur heeft zorgt ervoor dat alle MHD vergelijkingen kunnen worden gediscretizeerd zonder een onderliggend gestructureerd maas te moeten hebben. In SPH wordt de bewegingsvergelijking afgeleid van een Hamiltoniaans formalisme dat de vergelijkingen perfecte massa-, impuls- en energiebehoudseigenschappen geeft, and dat er voor zorgt dat de deeltjes door opeenvolgende stadia van minimale energie evolueren en een glasachtig onderliggend maas vormen dat met de vloeistof mee beweegt. Dit is niet zo bij Monte-Carlo methodes, waar de deeltjes zeer slecht verdeeld kunnen geraken. Al de fysische velden van het MHD model zijn dan gedefinieerd over het bewegende maas, en de gladde velden worden gereconstrueerd met een interpolatietechniek. In tegenstelling tot bij PIC codes, worden bij de expliciete tijdsintegratie van de SPH-vergelijkingen alle velden voortgedragen door de deeltjes (inclusief de elec- tromagnetische velden) en geen matrixinversies of preconditionering is nodig om de resulterende krachten op de deeltjes te berekenen. Dit belangrijke kenmerk geeft SPH het potentieel om efficiënt geparallellizeerd te worden op een groot aantal processoren zonder de bijkomende complexiteit van het inverteren van de Possionvergelijking. Één van de meest betenisvolle eigenschappen van SPH is de mogelijkheid om alle evolutievergelijkingen te formuleren in Cartesische coordinaten, zelfs wanneer de systeemgeometrie niet Cartesisch is. Dit laat toe om complexe geometrieën te simuleren, zoals diegenen die men vindt in de laatste generatie van fusierelevante machines zoals ITER en Wendelstein-7X, met relatief weinig complicaties. Ondanks het succes bij het simuleren van astrofysische plasma’s, is SPH nog nooit gebruikt voor laboratorieplasmas of plasmas van interesse voor fusie. Het hoof- dresultaat van deze thesis is de EVA code, die precies dit doet. EVA is een SPH implementatie van de niet-lineaire MHD vergelijkingen geschreven in FORTRAN90 met de complexe fusiegeometrieën op het oog. EVA overkomt de drie grote uitdagin- gen die men tegen komt bij laboratorieplasmas: de aanwezigheid van grenzen (gladde en gekromde), de noodzaak voor goede randvergelijkingen voor alle MHD variabelen, en de constructie van handgemaakte beginvoorwaarden die willekeurig complexe densiteitsprofielen en zeer lage hoeveelheiden deeltjesruis toelaten. Uiteindelijk zorgt dit er voor dat EVA alle interessante MHD scenarios kan simuleren. In deze thesis stellen we de details van EVA’s interne algoritmes voor, en we bench- marken haar tegen standaard SPH tests van de literatuur. Uiteindelijk vergelijken we de bekomen resultaten van de evoluties van drie plasmakolommen (Theta-pinch, Zeta-pinch en Schroef-pinch) met het gedrag dat lineaire theorie voorspelt. De resultaten zijn bemoedigend en het voorgestelde werk voor de toekomst re- flecteert de richtingen die moeten gevolgd woden om EVA een competitieve speler te maken voor simulatie van realistische fusiesystemen in de nabije toekomst.
Description
Keywords
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), Fusion-relevant MHD
Bibliographic citation
Collections