Inverse finite-type relations between sequences of polynomials

Abstract

[EN] Let φ be a monic polynomial, with deg φ = t ≥ 0. We say that there is a finite-type relation between two monic polynomial sequences {Bn},n≥0 and {Qn},n≥0 with respect to φ, if there exists (s,r) in N , r≥s, such that $$\phi(x) Q_{n}(x)= \sum n +t}_{\nu = n-s} \lambda_{n,\nu}B_\nu(x), n \geq s,\,\, {\text{with}}\,\, \lambda_{r,r- s}\neq 0.\tag*$$

The corresponding inverse finite-type relation of (*) consists in a finite-type relation as follows: $$\Omega \star}_{s} (x;n) B_{n}(x)= \sum n + s}_{\nu = n - t} \theta *}_{n,\nu} Q_\nu(x), n \geq t, \quad \text{ with}\,\, \theta *}_{r+t, r}\neq 0,$$

where deg$\Omega *}_s (x,n) = s, n \geq t$. When the orthogonality of the two previous sequences is assumed, the inverse finite-type relation is always possible [11]. This work essentially studies the case when only the sequence {Bn},n≥0 is orthogonal. In fact, we find necessary and sufficient conditions leading to inverse finite-type relations. In particular, the structure relation characterizing semi-classical sequences is a special case of the general situation. Some examples will be analyzed.

[ES] Sea φ un polinomio mónico, con deg φ = t ≥ 0. Decimos que hay relacion de tipo finito entre dos sucesiones de polinomios mónicos {Bn},n≥0 y {Qn},n≥0 con respecto a φ, si existe (s,r) en N , r≥s, tal que $$\phi(x) Q_{n}(x)= \sum n +t}_{\nu = n-s} \lambda_{n,\nu}B_\nu(x), n \geq s,\,\, {\text{with}}\,\, \lambda_{r,r- s}\neq 0.\tag*$$

La correspondiente relacion de tipo finito de (*) consiste en una relación de tipo finito como sigue: $$\Omega \star}_{s} (x;n) B_{n}(x)= \sum n + s}_{\nu = n - t} \theta *}_{n,\nu} Q_\nu(x), n \geq t, \quad \text{ with}\,\, \theta *}_{r+t, r}\neq 0,$$

donde deg$\Omega *}_s (x,n) = s, n \geq t$. Cuando se supone la ortogonalidad de las dos sucesiones previas, la relación de tipo finito inversa siempre es posible [11]. En este trabajo se estudia el case en que sólo la sucesión {Bn},n≥0 es ortogonal. De hecho, encontramos condiciones necesarias y suficientes que conducen a relaciones de tipo finito inversas. En particular, la relacion de estructura que caracteriza a las sucesiones semiclásicas es un caso especial de la situación general. Se estudian varios ejemplos.