El uso de bases y frames en teoría de muestreo

Abstract

En este artículo se trata de la recuperación de x∈H, siendo H un espacio de Hilbert separable, a partir de la sucesión de escalares {<x,xn>}n=1,infty obtenida mediante una sucesión dada {xn}n=1,infty de H. El exigir que se cumpla el concepto de la l2-estabilidad nos lleva directamente a la definición de frame en H, siendo las bases ortonormales y las bases de Riesz dos casos particulares. Después de una breve excursión por las propiedades más importantes de los frames, y de su contrapartida en el caso de bases ortonormales y de bases de Riesz, nos centraremos en el caso en que H es un espacio de Hilbert de funciones y la sucesión {<x,xn>}n=1,infty consiste en muestras de x y/o de ciertas funciones relacionadas con ella. Como ilustración de la teoría anterior obtendremos teoremas de muestreo en los espacios clásicos de Paley–Wiener, así como en otros espacios invariantes por traslación en L2(R), i.e., subespacios cerrados de L2(R) generados por las traslaciones en los enteros de una cierta función φ de L2(R).