Controlled Markov models : an application to the ruin problem

Abstract

In this thesis the ruin probabilities in some controlled discrete-time risk processes with a Markov chain interest are studied. To reduce the risk of ruin there is a possibility to reinsure a part or the whole reserve. Recursive and integral equations for ruin probabilities are given. Generalized Lundberg inequalities for the ruin probabilities are derived given a constant stationary policy. The relationships between these inequalities are discussed. To illustrate these results some numerical examples are included. It is shown that the problems considered can be imbedded in the framework of Markov decision problem but with some special features. We establish the dynamic programming algorithm in finite and infinite horizon cases for a general Markov Decision Process (MDP). Moreover, we provide conditions for the existences of measurable selectors. _____________________________________

En este trabajo se estudia la probabilidad de ruina de algunos procesos de riesgo controlados en tiempo discreto que incluyan una cadena de Markov para las tasas de interés. Para reducir el riesgo de ruina existe la posibilidad de reasegurar parte o la totalidad del fondo de reservas. Se facilitan formulas recursivas y ecuaciones para calcular la probabilidad de ruina. Desigualdades generalizadas tipo Lundberg para la probabilidad de ruina son deducidas cuando consideramos una política estacionaria constante desde el inicio. Se analizan las relaciones entre las desigualdades halladas. Se incluyen algunos ejemplos numéricos para ilustrar estos resultados. Se muestra que los problemas considerados pueden ser vistos en el marco de los problemas de Decisión Markovianos. Se establecen algoritmos de programación dinámica para un modelo de Decisión Markoviano general en los casos de horizonte finito e infinito. Además, se muestran las condiciones necesarias para la existencia de selectores medibles.